Современная электроника №8/2022

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 60 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 8 2022 нии и сужении сфер поиска происхо- дит направленное сканирование всей дискретной области поиска без пол- ного её перебора. Характерными осо- бенностями данного поискового алго- ритма является высокая надёжность отделения глобального экстремума, малые потери на поиск, эффективная работа в дискретном пространстве высокой размерности, а также отсут- ствие априори настраиваемых пара- метров. Многофункциональное задание целе- вой функции в проектных задачах обычно формируется в виде взвешен- ной суммы частных целевых функций f i ( IX ), которые определяют выполнение функциональных требований по той или иной частотной характеристике гауссова фильтра либо её фрагменту: , где коэффициенты β i задают значи- мость (вес) характеристик. Вектор IX О , минимизирующий поли- модальную целевую функцию F ( IX ) на допустимом дискретном множе- стве (8), является Парето-эффектив- ным решением задачи синтеза цело- численного гауссова БИХ-фильтра по совокупности противоречивых харак- теристик. Таким образом, при проектировании гауссова БИХ-фильтра нижних частот численными методами дискретного программирования осуществляется дискретизация как характеристик, так и коэффициентов фильтра, что позво- ляет устранить как ошибки аналити- ческой аппроксимации, так и ошибки квантования параметров при практи- ческой его реализации. Дискретное моделирование гауссова БИХ-фильтра Построение гауссова БИХ-фильтра в форме каскадного соединения звеньев второго порядка следует признать наи- более целесообразным, как это следу- ет из сравнения каскадных, параллель- ных, прямых и волновых структур. Для рекурсивного целочисленного филь- тра, состоящего из каскадного сое- динения m -звеньев второго порядка ( m = N /2, где N – общий порядок филь- тра), передаточная функция имеет сле- дующий вид: , (10) где комплексная переменная z при переходе к описанию частотной харак- теристики принимает значение , где Т – период дискретизации. Все коэффициенты передаточной функции квантованы целочислен- ным кодом (4), а их интервал измене- ния определяется заданной длиной битового слова (разрядностью) коэф- фициентов фильтра. Из соотношения (10) легко получается разностное урав- нение для одного звена целочисленно- го фильтра: , (11) где x n , y n – целочисленные входная и выходная временны ′ е последователь- ности, а 0 – нормирующий коэффици- ент pоwer-оf-twо: . (12) На рис. 2 приведена структура звеньев рекурсивного целочисленного гауссо- ва фильтра, соответствующая разност- ному уравнению (11). Как видно, при вычислении отклика фильтра, кроме традиционных операций сложения, умножения и задержки на такт, при- сутствует операция сдвига на B = lоg 2 а 0 бит, с помощью которой реализуется целочисленное деление на нормирую- щий коэффициент pоwer-оf-twо. Для каскадного рекурсивного филь- тра с вещественной арифметикой циф- ровых вычислений передаточная функ- ция выглядит так: , а разностное уравнение звена имеет следующий вид: . Здесь все дискретные значения коэф- фициентов задаются на интервале их изменения вещественным квантован- ным значением (3). Устойчивость проектируемого рекур- сивного гауссова фильтра определя- ются условием (8), при этом синтез методами дискретного нелинейно- го программирования позволяет реа- лизовать любые значения максималь- ных радиусов как полюсов, так и нулей коэффициента передачи гауссова БИХ- фильтра. Как показала практика, при синтезе с меньшим значением макси- мального радиуса полюсов практиче- ски всегда удаётся получить проектное решение без предельных циклов того или иного рода, хотя селективная спо- собность гауссова фильтра при этом, естественно, снижается. Дискретный синтез гауссова БИХ-фильтра нижних частот Пример синтеза рекурсивного гаус- сова ФНЧ десятого порядка в целочис- ленном пространстве квантованных параметров осуществлялся согласно следующим спецификационным тре- бованиям. 1. Полоса пропускания: 150±2 Гц. 2. Коэффициент передачи: 1± 0,1. 3. Фазовая нелинейность в полосе: 2°. 4. Порядок рекурсивного фильтра: 8. 5. Максимальный радиус полюсов: 0,97. 6. Частота дискретизации: 2 кГц. 7. Масштабирование коэффициен- тов передачи звеньев в интервал: {0,8–1,5}. В ходе синтеза необходимо было най- ти решение с минимальной разрядно- стью представления коэффициентов фильтра, для чего применялась тех- ника динамического квантования его коэффициентов [8]. Дискретный синтез гауссова ФНЧ осуществлялся с учётом как селек- тивных, так и фазовых требований, когда общая целевая функция фор- мировалась в виде взвешенной сум- мы частных целевых функций f АЧХ ( X ) и f ФЧХ ( X ), обеспечивающих выпол- нение требований как амплитудной селекции фильтра (3), так и линейно- сти его ФЧХ: . (13) При этом частная целевая функ- ция f АЧХ (X) формировалась по крите- рию минимума среднеквадратичного отклонения: Рис. 2. Структура целочисленного БИХ-звена 2-го порядка