Современная электроника №8/2022

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 59 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 8 2022 Рис. 1. Нормированная характеристика гауссова фильтра нижних частот мате с фиксированной точкой (ФТ), когда все переменные алгоритма гаус- совой фильтрации являются дробны- ми вещественными числами, принад- лежащими диапазону от –1 до 1…2 -(R-1) , где R – число битов, используемых для двоичного представления числа. Таким образом, заданным числом двоичных разрядов можно реализовать только дискретный ряд определённых (кван- тованных) значений коэффициентов гауссова фильтра на заданном интерва- ле их изменения. Для требуемой разряд- ности представления R целочисленный код (квант) вещественного некванто- ванного коэффициента c i в вариан- те округления до ближайшего целого (rоund) равен целой части выражения в скобках: , (2) тогда вещественный код данного коэф- фициента определяется: , (3) а ошибка квантования коэффициен- та составляет . (4) Для аналитических подходов ошиб- ки квантования считаются неустра- нимыми и приводят к искажению частотных характеристик гауссова фильтра, появлению динамических шумов квантования, а также к возмож- ности появления малых предельных циклов в БИХ-структурах. Однако, как уже сказано выше, ошибку квантова- ния коэффициентов можно устранить полностью, осуществив дискретиза- цию параметрического простран- ства коэффициентов гауссова БИХ- фильтра перед его синтезом только теми значениями, при которых ошиб- ка квантования (4) равна нулю. При этом математическое задание кванто- ванного параметрического простран- ства возможно как вещественным (3), так и целочисленным кодом (2), что позволяет проектировать гауссовы ФНЧ, использующие как веществен- ную, так и целочисленную арифме- тику вычислений и дискретизацию коэффициентов. Вариант целочис- ленного представления является более универсальным и практически зна- чимым, так как целочисленные гаус- совы фильтры имеют минимальную вычислительную сложность. Разряд- ность такого представления опреде- ляется интервалом изменения цело- численных коэффициентов фильтра, что практически удобно при реализа- ции алгоритма динамического кванто- вания коэффициентов [8]. При необ- ходимости целочисленное решение легко преобразовать в вещественное квантованное решение формата ФТ, используя для этого их однозначную связь через соотношение (3). Форми- рование целочисленного кода часто называют нормализацией коэффи- циентов гауссова фильтра, когда в дискретном n -мерном пространстве формируется вектор целочисленных коэффициентов IX ( ix 1 , ix 2 ... ix i ... ix n ), квантованных с заданной разрядно- стью их представления. Точное представление требуемой гауссовой характеристики на стадии синтеза технического решения может обеспечить её дискретное табулирован- ное представление [9], что даёт возмож- ность, с одной стороны, заменить про- цедуру аналитической аппроксимации простой оцифровкой требуемой харак- теристики фильтра, причём ошибка оцифровки характеристики может быть минимизирована соответству- ющим выбором шага частотной дис- кретизации. С другой стороны, каждая характеристика фильтра, определяемая совокупностью (вектором) скалярных частотных выборок, позволяет приме- нять для синтеза гауссова БИХ-фильтра эффективные поисковые методы мно- гокритериальной оптимизации на дис- кретном множестве квантованных параметров. В общем виде задачу целочисленно- го нелинейного программирования (ЦНП) при машинном синтезе каскад- ного БИХ-фильтра нижних частот мож- но записать так: (5) , (6) , (7) , (8) , (9) где m – число звеньев (каскадов) вто- рого порядка, d – индекс коэффициен- та передаточной функции звена, IX – вектор многомерного пространства целочисленныхкоэффициентов, F ( IX )– целевая функция, K i min , K i max – допусти- мые границы изменения коэффициен- та усиления i -го звена фильтра. Как видно, экстремальная задача (5) записана относительно целочисленно- го пространства I 5 m параметров (кван- тованных коэффициентов гауссова фильтра) размерностью 5 m . Прямые ограничения (6) задают границы их изменения, а соотношение (7) опреде- ляет pоwer-оf-twо значение нормирую- щих коэффициентов звеньев фильтра. Функциональные ограничения (8) кон- тролируют в процессе синтеза условие устойчивости рекурсивного гауссова ФНЧ по всем полюсам коэффициента передачи с радиусами, не превыша- ющими , а ограничения (9) мас- штабируют коэффициенты передачи звеньев в заданный интервал для обе- спечения широкого динамического диапазона каскадного гауссова филь- тра при обработке видеосигналов раз- личного уровня. В алгоритме миними- зации реализация функциональных ограничений осуществляется приме- нением штрафных функций [10, 11]. Численное решение экстремальной задачи (5) в квантованном простран- стве коэффициентов формата ФТ воз- можно только применением сеточных алгоритмов поисковой минимизации, когда дискретность сетки поиска зада- ётся числом двоичных разрядов R , кото- рыми в кодовом пространстве отобра- жается каждая i -я переменная. Этим требованиям вполне отвечает поис- ковый алгоритм глобальной миними- зации полимодальных целевых функ- ций на детерминированной сетке [11]. Построение минимизирующей после- довательности на дискретной сетке формата ФТ в данном алгоритме осу- ществляется при помощи так называ- емых сфер поиска с изменяющимися радиусами. Таким образом, при после- довательном автоматическом расшире-