Современная электроника №8/2022

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ 58 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 8 2022 Дискретный синтез цифрового гауссова фильтра Рассматриваются вопросы цифровой фильтрации измерительного видеосигнала с применением селективных БИХ-фильтров с гауссовой амплитудно-частотной характеристикой. Приводится постановка задачи синтеза гауссова фильтра методами нелинейного математического программирования в дискретном пространстве квантованных коэффициентов. Рассмотрен пример решения задачи дискретного синтеза гауссова БИХ-фильтра нижних частот, отвечающего требованиям высокоточной фильтрации измерительного видеосигнала. Приведён анализ его характеристик в частотной и временно ′ й области, а также представлены данные экспериментальных измерений. Владимир Бугров (bug@rf.unn.ru) Введение Цифровые фильтры, амплитуд- но-частотная характеристика (АЧХ) которых описывается гауссовой функ- цией, широко используются в совре- менной радиоэлектронной и измери- тельной технике [1–4]. Кроме хороших избирательных свойств такие филь- тры обеспечивают минимальное вре- мя обработки и практически линей- ную фазочастотную характеристику (ФЧХ), что необходимо для миними- зации дисперсионных искажений при высокоточной обработке измеритель- ных как видео-, так и радиосигналов. Фильтр с характеристикой, близкой к гауссовой, является идеальным филь- тром защиты от наложения спектров с минимальной базой и обеспечивает максимальное качество фильтрации сигнала перед его семплированием и последующей цифровой обработ- кой [5]. Построение гауссова селективно- го фильтра возможно на основе как цифровых фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ- фильтров), так и на основе фильтров с конечной импульсной характеристи- кой (КИХ-фильтров) в стандартных топологиях их построения (прямой, каскадной, волновой, структуре частот- ной выборки и др.). Однако рекурсив- ные цифровые фильтры, являясь дис- кретными линейными системами с обратной связью, обладают значи- тельно бо ′ льшими селективными воз- можностями по сравнению с нере- курсивными, поэтому они позволяют реализовать требуемуюформу гауссо- вой АЧХ значительно меньшим поряд- ком фильтра. Как известно, возможность проек- тирования гауссовых БИХ-фильтров аналитическими подходами весь- ма ограничена. В настоящее время для их синтеза используются методы аппроксимации гауссовой АЧХ тем или иным аппроксимирующим поли- номом достаточно высокого порядка для получения аналогового фильтра- прототипа с последующим билиней- ным его преобразованием в цифровой эквивалент. Обзор различных видов аппроксимаций гауссовой функции, используемых для проектирования гауссовых фильтров аналитически- ми методами, рассмотрен в [2, 6]. Для синтеза БИХ-фильтров малой слож- ности с характеристиками, близкими к гауссовой функции, в [3] применена аппроксимация Бесселя, однако указа- но, что рассмотренный подход никак не гарантирует нахождение опти- мального решения, к тому же ошибка реализации гауссовой АЧХ фильтра весьма значительна. Таким образом, аналитическое проектирование гаус- совых БИХ-фильтров реального вре- мени на этапе синтеза технического решения характеризуется системати- ческой ошибкой аналитического пред- ставления гауссовой характеристики фильтра тем или иным аппроксими- рующим полиномом приемлемого порядка. Часто эта ошибка аппрокси- мации не позволяет реализовать высо- кодобротную АЧХ гауссова фильтра с необходимой точностью, особенно при реализации выборки с запасом по частоте [4, 7]. На стадии практической реализации аналитического решения необходима, как известно, процедура квантования коэффициентов фильтра. При этом систематическая ошибка квантова- ния может существенно превосходить ошибку аппроксимации (особенно при синтезе малоразрядных гауссовых фильтров), что не позволит практиче- ски реализовать гауссов закон измене- ния АЧХ с высокой точностью. Харак- терно, что в большинстве публикаций по аналитическому расчёту цифровых гауссовых фильтров вопросы практи- ческой реализации полученных реше- ний не рассматриваются. Однако ошибки аппроксимации и квантования могут быть устранены при проектировании цифрового БИХ- фильтра современными численными методами дискретного нелинейного программирования, позволяющими работать не с аналитическим, а с дис- кретным представлением как характе- ристик фильтра, так и параметрическо- го пространства его коэффициентов. В настоящей статье рассматривает- ся возможность проектирования низ- кочастотного цифрового БИХ-фильтра с гауссовой АЧХ, отвечающего требо- ваниям высокоточной фильтрации радиоизмерительных видеосигналов на фоне внешних помех. При этом нор- мированная резонансная характери- стика для гауссовой низкочастотной функции (рис. 1) определяется следу- ющим образом: , (1) где f – расстройка от нулевой часто- ты, а параметр α определяет норми- рованную полосу пропускания гаус- совой кривой: , здесь Δ f – абсолютная полоса пропуска- ния по уровню 0,7. Метод синтеза и постановка проектной задачи Эффективный синтез цифровых гауссовых БИХ-фильтров, отвечающих совокупности требований, в настоящее время возможен только численными методами нелинейного математиче- ского программирования с заданной системой прямых и функциональных ограничений [8–10]. При этом прежде всего необходимо учитывать арифме- тику цифровых вычислений и приемле- мую длину слова коэффициентов гаус- сова ФНЧ для их реализации заданным числом двоичных разрядов с использо- ванием цифровых вычислений в фор-