Современная электроника №4/2020

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 54 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 4 2020 мые границы изменения коэффициен- та усиления i -го звена. ЭкстремальнаязадачасинтезаЦФК(9) записана относительно веществен- ного квантованного пространства R 5 m параметров (коэффициентов фазово- го фильтра) размерностью 5 m . Ограни- чения (10) задают границы изменения этих коэффициентов, функциональ- ные ограничения (11) контролиру- ют в процессе синтеза условие устой- чивости рекурсивного корректора по всем полюсам коэффициента передачи с радиусами не выше r max , а ограниче- ния (12) масштабируют коэффициенты передачи звеньев в заданный интервал. Для численного решения экстре- мальной задачи (9) использовался эффективный алгоритм поиска на дис- кретной сетке кода Грея, предназна- ченной для решения дискретных задач оптимального проектирования [6, 11]. Данный алгоритм относится к клас- су глобальных итеративных алгорит- мов направленного сканирования на детерминированной сетке, которая образуется путём равномерного раз- биения интервала изменения каждой i -ой переменной на 2 Qi дискретных значений, где параметр Qi определя- ет дискретность сетки, равную чис- лу двоичных разрядов, которыми в кодовом пространстве отображается каждая i -aя переменная. Таким обра- зом, в данном алгоритме реализована именно необходимая для квантования коэффициентов формата ФТ дискрет- ность сетки. Для преобразования мас- сива дискретных значений каждой i -ой переменной в кодовое простран- ство используется код Грея, который позволяет организовать построение минимизирующей последовательно- сти на дискретной сетке при помощи так называемых сфер поиска с изме- няющимися радиусами. Таким обра- зом, при последовательном автомати- ческом расширении и сужении сфер поиска происходит направленное сканирование всей области поиска без полного её перебора. Характер- ными особенностями данного поис- кового алгоритма являются высокая надёжность отделения глобального экстремума, малые потери на поиск, эффективная работа в пространстве высокой размерности, а также отсут- ствие априори настраиваемых пара- метров. Вектор , минимизирующий скалярную целевую функцию F( ) на множестве допустимых целочислен- ных решений (10), является Паре- то-эффективным решением задачи синтеза рекурсивного ЦФК по сово- купности противоречивых характе- ристик. Ниже приведён пример решения задач синтеза 8-битового рекурсив- ного ЦФК с учётом требуемого ради- уса полюсов передаточной функции фильтра. Эти задачи выполняются с помощью эксклюзивного компьютер- ного пакета дискретного синтеза [6, 7]. Анализ характеристик синтезирован- ного ЦФК во временной области осу- ществлялся средствами пакета MATLAB. Дискретный синтез ЦФК Рассмотрим решение задачи син- теза 8-битового ЦФК на приме- ре коррекции фазовых искажений рекурсивного фильтра Баттерворта, расчёт которого осуществлялся в паке- те MATLAB по селективным требова- ниям фильтра нижних частот 4-го порядка с частотой среза f c =500 Гц при квантовании коэффициентов до 8 бит. Как известно, аналитическое проекти- рование БИХ-фильтров билинейным преобразованием при любых аппрок- симациях характеристикфильтров-про- тотипов осуществляется при фикса- ции нулей передаточной функции на единичной окружности в z-плоскости, что определяет сильную нелинейность ϕ И фазо-частотной характеристики «искажающего» фильтра Баттервор- та (см. рис. 3а) с максимальным откло- нением 30  от линейного ϕ L закона. На этом же рисунке приведена и требуе- мая согласно (3) фазовая характери- стикаЦФК, определяемая по соотноше- нию ϕ К = 2 ϕ L – ϕ И из предположения, что фазовыйнабег на частоте среза f c =500 Гц одинаков для искажающей и корректи- рующейцепи, как это показанона рисун- ке 3а. Суммарныйфазовыйнабег, таким образом, будет равен 2 ϕ L . Соответствую- щие характеристики модулей коэффи- циентов передачи «искажающего» А И и «корректирующего» А К фильтров при- ведены на рисунке 3б. Так как фазовая коррекция осуществляется не на всём интервале Найквиста, то модуль коэф- фициента передачи корректора равен единице только в полосе пропускания фильтра Баттерворта, а в переходной полосе и полосе непропускания впол- не достаточно требования , т.е. непревышения единичного значения, что только повысит суммарную ампли- тудную селективность. Таким образом, синтез рекурсивно- го ЦФК в пространстве 8-битовых кван- тованных параметров осуществлялся согласно следующим спецификациям: 1. полоса пропускания: 0–500 Гц; 2. коэффициент передачи в полосе: 1± 0,01; 3. коэффициент передачи вне полосы пропускания: ≤ 1; 4. погрешность итоговой фазовой кор- рекции тракта: 10  ; 5. длина слова коэффициентов: 8 бит; 6. порядок рекурсивного корректора: 4; 7. максимально допустимый радиус по- люсов: 0,95; 8. масштабирование коэффициентов передачи звеньев в интервал {2–4}; 9. частота дискретизации: 2 кГц. Пример ввода требуемой АЧХ кор- ректора в модуле функционального Рис. 3. ФЧХ (а) и АЧХ (б) искажающего и корректирующего фильтров 0 –20 –40 –60 –80 –100 –120 –140 –160 –180 50 0 100 150 200 Частота, Гц 250 300 350 400 450 Фаза, град. ϕ К ϕ И ϕ L 2 1,8 1,6 1,4 1,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 Частота, Гц а б Оптимальные коэффициенты ЦКФ Звено фильтра Коэффициенты передаточной функции Усиление звена K max a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 1 0,8984375 0,1640625 –0,1796875 –0,0390625 0,9687500 3,1 2 –0,1015625 –0,0156250 0,9687500 0,9218750 0,1484375 2,7 А К ( ω ) А И ( ω ) All Pass