Современная электроника №4/2020

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 53 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 4 2020 Рис. 2. Структура звена рекурсивного ЦФК где W k – длина битового представления коэффициентов (включая знак), С int –цело- численныйкод (квант) коэффициента. Таким образом, при проектировании ЦФКметодами дискретного программи- рования осуществляется дискретизация как характеристик, так и коэффициен- тов фильтра, что позволяет устранить ошибки аналитической аппроксимации и квантования при практической реа- лизации фазового корректора. Совре- менные алгоритмические комплексы дискретной минимизации позволяют надёжно и эффективно решать подоб- ные проектные задачи нелинейного программирования при соблюдении всех внешних требований и ограни- чений работы цифрового фазово- го корректора, что даёт возможность существенно повысить качество про- ектирования и сократить время разра- боткифазовых корректоров с заданной разрядностью представления данных. Моделирование и синтез рекурсивных ЦФК Основным ограничением аналитиче- скогосинтезафазовогокорректора явля- ется, как ужеотмеченовыше, требование зеркальнойсимметриикоэффициентов передаточнойфункции, что существен- но ограничивает число варьируемых коэффициентов (например, всегочеты- ре коэффициента дляБИХ-фильтра4-го порядка). Такимобразомограничивает- сяивозможностьреализациитребуемых сложных законовизмененияФЧХфазо- вого фильтра, особенно при малой раз- рядности представления его коэффи- циентов. Однако при проектировании методами дискретного программиро- вания вполне возможнообеспечить еди- ничныймодуль коэффициентапередачи корректора какна всёмчастотноминтер- вале Найквиста, так и в некоторой его части в стандартной топологии постро- ения БИХ-корректора при снятии тре- бования зеркальной симметрии коэф- фициентов, чтоповышает возможность реализациисложного законаизменения ФЧХ. Cравнение каскадных, параллель- ных, прямыхиволновых структур [9, 10] показывает, что наилучшей структурой построенияЦФКявляетсяпоследователь- ная структура, поскольку: ● она позволяет реализовывать ряд пе- редаточных функций небольшим на- боромфункциональных звеньев низ- кого (обычно второго) порядка; ● она обеспечивает наименьшую чув- ствительность характеристик к изме- нениюпараметров (коэффициентов); ● каскадная структура удобна в случае необходимости подстройки коэффи- циентов после синтеза, поскольку каждое звено фазового фильтра изо- лировано друг от друга. Более того, в структуру каскадного фильтра мо- гут быть легко добавлены предвари- тельно рассчитанные звенья ампли- тудной или фазовой коррекции; ● при необходимости техническое ре- шение в последовательной форме может быть легко конвертировано в прямуюили параллельную структуры, например средствами пакетаMATLAB. В связи с этим в настоящее время построение рекурсивных фильтров (в томчисле ифазовых) вформе каскад- ного соединения звеньев второго поряд- ка прямой или обращённой формы на практике используется наиболее часто. Передаточная функция для рекурсив- ного ЦФК, состоящего из каскадного соединения m звеньев второго поряд- ка ( m = N /2, где N – общий порядок фазо- вогофильтра), имеет следующий вид [7]: , где комплексная переменная z при переходе к описанию частотной харак- теристики принимает значение z = ej ω Т , где Т – пери- од дискретизации. Все коэффициенты передаточной функции на единичном интервале их изменения определяются веществен- ным квантом (5) для заданной длины битового слова (разрядности) коэф- фициентов. Из соотношения (6) легко получается разностное уравнение для одного звена фазового фильтра: y n = b 0 × x n + b 1 × x n –1 + b 2 × x n –2 – a 1 × y n –1 – – a 2 × y n –2 , где x n , y n – входная и выходная целочис- ленные временные последовательности. Нарисунке2приведенатипичнаяструк- тура звеньеврекурсивногоЦФК, соответ- ствующая разностному уравнению(7). Как известно, рекурсивный фазовый фильтр будет устойчив, если все полю- сы p i передаточной функции (6) удов- летворяют следующему условию: , где r max –допустимыймаксимальныйради- усполюсовпередаточнойфункциифиль- трав z-плоскости, прикоторомвсистеме не возникают предельные циклы [6]. Синтез методами дискретного про- граммирования позволяет реализовать любые значениямаксимальныхрадиусов: какполюсов, такинулейкоэффициента передачиприрешенииконкретнойпро- ектной задачи [6, 7]. Как показала прак- тика, присинтезе сменьшимзначением максимального радиуса полюсов прак- тическивсегда удаётсяполучитьпроект- ноерешениебезпредельныхциклов того илииногорода, хотя селективная способ- ностьрекурсивногокорректораприэтом, естественно, снижается. Как известно, в каскадных фор- мах построения фильтров необходи- ма процедура масштабирования сиг- нала, то есть равномерной раскладки усиления по каскадам. Это позволя- ет фильтру работать в широком дина- мическом диапазоне входных сигна- лов. Однако в каскадных ЦКФ расчёт такого масштабирования целочис- ленного звена гораздо легче осущест- влять не стандартным применением Lр-нормы, а прямым введением тре- бования обеспечения малого разбро- са коэффициентов передачи отдель- ных звеньев при синтезе фильтра [7, 8]. Как показывает практика, существенно- го сужения динамического диапазона не происходит, если максимальные коэф- фициенты передачи каскадов различа- ются не более чем в 5–7 раз. При более грубом покаскадном масштабирова- нии сужение динамического диапазо- на становится заметным. Формально требования масштабирования сигнала записываются двустороннимифункци- ональнымиограничениями (12) экстре- мальной задачи дискретного синтеза. В общем виде задачу синтеза рекур- сивного ЦФК с заданной разрядностью представления коэффициентов можно записать так: , , , , где m – число звеньев второго порядка, d – индекс коэффициента передаточ- ной функции фазового звена (7), – вектор многомерного пространства квантованных коэффициентов, F ( ) – целевая функция, K i min , K i max – допусти- (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)