СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА №1/2015

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 64 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 1 2015 1,0 1,0 h(n) h(t) n t t 3 t 2 t 1 0,75 0,75 а 1 а 1 а 3 а 2 а 2 а 3 а 4 а 5 0,5 0,5 0,25 0,25 0 0 0,5 а б 1,0 0 1/2 1/3 0 0 лу свёртки можно записать в следую- щем простом виде: (8) Отметим, что в подынтегральных функциях формулы (8) произведена взаимная замена аргументов на осно- вании свойства симметрии свёртки. А НАЛИЗ СТРУКТУРЫ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ Теперь, с учётом изложенных преоб- разований, легко сделать анализ струк- туры ЦФ. Очевидно, что они должны быть основаны на конечно-разност- ном описании систем с помощью урав- нения типа (2) илиформулысвёртки (8). При этомвидно, что дифференциал ядра свёртки в формуле (8) будет порож- дать последовательность коэффициен- тов, равных приращениям переходной функции. Обозначая номера дискретных точек текущегонепрерывного аргумента через i , номера дискретных точек запаз- дывающего аргумента через n иперехо- дя с помощьючисленногоинтегрирова- нияметодомпрямоугольников от инте- грала свёртки к сумме линейнойформы (свёрточной сумме), получаем: (9) где n = 1 … N. Заметим, что индекс относится к пра- вой границе промежутка, а число равно числу промежутков (шагов), содержа- щихся в интервале длительности пере- ходного процесса h ( τ ). Переходные процессы, получаемые путём аналити- ческого решения дифференциального уравнения (2), имеют бесконечную дли- тельность. При составлении импульс- ной переходной функции (ИПФ) с помощью приращений переходной функции в дискретном виде будет полу- чаться большое число коэффициентов. Однако понятно, что удаляться до бес- конечности по оси абсцисс не потребу- ется, так как приращения будут умень- шаться, и при некоторых малых значе- ниях их можно будет отбросить. На рисунке 1а приведён пример полу- чения коэффициентов ИПФ с помощью аналоговой переходной функции апе- риодического звена. Существуют два способа сокращения количества коэф- фициентов ИПФ. Первый из них осно- ван на алгоритмах численного решения дифференциального уравнения (2), получаемых путём перехода к разност- ному уравнению. Варианты этого спо- соба будут рассмотрены далее, а сейчас рассмотрим второй способ. Так как ЦФ представляет собой мате- матическую систему, переходной про- цесс можно искусственно сократить, сделав его в виде ломаной линии (см. рис. 1б). Одна из переходных функций представлена на рисунке в виде прямой линии, имеющей изломы только в нача- ле и в конце переходного процесса. Она порождает ИПФ с одинаковыми значе- ниями коэффициентов. Такой ЦФ при- нято называть фильтром скользящего арифметического среднего. На этом же рисунке показаны другие переходные процессы, определяющие ИПФ с раз- ными значениями коэффициентов. Цифровые фильтры с коэффициен- тами ИПФ, получаемыми путём пере- хода к разностному уравнению (пер- вый способ), принято называть ЦФ с бесконечной импульсной характе- ристикой (БИХ), а вторым способом – с конечной импульсной характеристи- кой (КИХ). Далее будем различать ЦФ с чётным и нечётным числом коэффи- циентов, а также, что более важно, по симметричности и асимметричности значений этих коэффициентов отно- сительно центра образованной ими последовательности. Н ОВЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА СИММЕТРИЧНЫХ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦФ Перейдём к описанию алгоритма предлагаемого здесь нового метода расчёта симметричных нерекурсивных ЦФ. Суть этого метода состоит в цикли- ческом расчёте частотных характери- стик ЦФ по алгоритму, составленно- му для каскадной формы трёхточеч- ных ЦФ [1, 3]. Такие ЦФ использованы здесь в качестве элементарных зве- ньев. Существуют два вида минималь- но-количественных ЦФ. Один из них – чётный. Он имеет два коэффициента: { a 1 , a 2 }. Второй – нечётный. Он имеет три коэффициента: { a 1 , a 2 , a 3 }. Напом- ним, что a i = Δ h i = h i – h i –1 , где i = 1 … N . Минимально-количественные ЦФ важ- ны потому, что их можно характери- зовать только одним коэффициентом. Сумма всех коэффициентов ЦФ равна сумме приращений переходного про- цесса на единичное ступенчатое воз- действие. Для двухточечных ЦФ име- ем: a 1 = 1 – a 2 . Для симметричных трёх- точечных ЦФ имеет место равенство a 1 = a 3 , поэтому они тоже однозначно определяются заданием только одного коэффициента. Например, если задать a 2 , то a 1 = a 3 = (1 – a 2 )/2. Симметричные ЦФ обладают весь- ма важными свойствами. Например, если входная функция задана таблич- но, то имеется возможность исключить искажение фаз гармоник, содержащих- ся в её спектре. В других случаях полу- чается линейная зависимость фазовой характеристики от частоты, аналогич- ная зависимости звеньев транспортно- го запаздывания. Величина этого запаз- дывания равна . Отметим, что для двухточечных ЦФ существует только один вариант, при котором они могут быть симметричны, а именно: a 1 = a 2 = 0,5, из-за чего эти ЦФ исполь- зуются редко. Что же касается трёхто- чечных ЦФ, то для них существует бес- конечное множество вариантов, при которых a 1 = a 3 . На рисунке 2 приведены логарифми- ческие амплитудно-частотные харак- теристики (ЛАХ) трёхточечных симме- тричных ЦФ, полученные при различ- ных значениях a 2 . Острые пики ЛАХ, направленные вниз, соответствуют Рис. 1. Коэффициенты импульсной переходной функции соответствуют ординатам переходной функции, являющейся решением дифференциального уравнения (а), и произвольно заданным переходным функциям (б)