СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА №1/2015

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 65 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 1 2015 –10 –20 –30 –40 –50 –60 –80 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,40,45 0,5 0,55 f– 0 a 2 = –0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,6 0,4 0,5 дБ логарифму ординат обычных ампли- тудно-частотных характеристик (АЧХ) ЦФ, близких к абсциссам их нулевых значений. Абсциссы нулей АЧХ зависят толь- ко от a 2 , что видно на рисунке 2. При этом значение a 2 = 0,5 является пре- дельным в том смысле, что при a 2 > 0,5 АЧХ вместо нуля имеет точку миниму- ма с абсциссой, равной частоте f max /2, где . Эта частота является гра- ницей области наложения частот. Зна- чение ординаты ЛАХ при a 2 > 0,5 зави- сит от величины a 2 . Гармоники, частоты которых принадлежат области нало- жения, дискретным способом не вос- производятся – они как бы отсутству- ют. Вместо них получаются гармоники с другими частотами, расположенны- ми в области нижних частот ( f < f max /2), в которую они переходят по правилу симметрии относительно граничной частоты. Это правило легко уяснить, если раскрыть дискретную структуру гармоники. Заметим, что нижние часто- ты области наложения, диапазон зна- чений которых равен ширине полосы заграждения ЦФ, переходят по прави- лу симметрии в эту полосу и там пода- вляются. Следовательно, в полосу про- пускаемых частот ЦФ могут перехо- дить только те гармоники из области наложения, значения частот которых превышают интервал полосы заграж- дения. На рисунке 2 видно, что при уменьшении a 2 ноль АЧХ трёхточеч- ного ЦФ перемещается влево и, одно- временно, происходит нежелательный подъём правой ветви ЛАХ, которая при a 2 = 0 касается оси абсцисс. Дальнейшее уменьшение a 2 в сторону отрицатель- ных его значений приводит к усилению высоких частот полосы заграждения ЦФ. Заметим, что это обстоятельство не является препятствием для синтеза ЦФ с более широкой полосой заграж- дения, чем получается при a 2 = 0 (ноль АЧХ на частоте f max /4). Левая граница полосы заграждения является величи- ной, задаваемой при проектировании ЦФ. Она определяется тем из входящих в каскад трёхточечным ЦФ, у которого a 2 имеет наименьшее значение по срав- нению с остальными. Выведем формулу, с помощью кото- рой можно определить значение a 2 для заданного значения частоты. АЧХ на этой частоте должно быть равно нулю. С помощью формулы (9) запи- шем выражение для трёхточечного ЦФ в форме, удобной для дальнейше- го анализа: Применим к этому равенству пре- образование Лапласа с учётом поло- жительных и отрицательных (опере- жающих и запаздывающих) сдвигов абсцисс входной функции: Из последнего равенства получаем передаточную функцию от которой переходим к частотной характеристике, полагая s = j ω и исполь- зуя одну из формул Эйлера для ком- плексных экспонент: Из последнего равенства легко нахо- дим значение a 2 для случая, когда A ( ω ) = 0: (10) По этой формуле можно получить значение a 2 для любого значения относительной частоты (относи- тельную частоту обозначим через w ). Например, при w = 0,5 (это грани- ца области наложения частот) имеем cos ( π ) = –1 и поэтому a 2 = 0,5. Для дру- гой характерной точки w = 0,25 име- ем = 0 и, следовательно, a 2 = 0. С помощью формулы (10) могут быть получены значения a 2 для любых дру- гих точек w из диапазона (0…0,5). У ПОРЯДОЧЕННОЕ КАСКАДНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ТРЁХТОЧЕЧНЫХ ЦФ Интерес представляет непроизволь- ный набор точек относительных частот, в которых ординаты АЧХ равны нулю, а такое их распределение, при котором суммарная ЛАХ каскадно-соединённых трёхточечных ЦФ будет иметь в полосе заграждения последовательность греб- ней, максимумы которых расположены на горизонтальной прямой линии. В качестве первого приближения к такой ЛАХ рассмотрим случай раз- биения отрезка оси относительных частот в полосе заграждения ЦФ на ( N – 1) частей, где N – число трёхто- чечных ЦФ. Отметим, что в этом случае трёхточечный ЦФ получит ноль АЧХ, совпадающий с границей наложения частот. Для увеличения степени пода- вления частот желательно сдвинуть его влево (внутрь полосы загражде- ния) так, чтобы ордината правой ветви ЛАХ этого ЦФ, абсцисса которой совпа- дает с границей наложения, оказалась бы на горизонтальной линии максиму- мов гребней. С учётом этого сдвига шаг дискретизации по частоте можно опре- делить по формуле: где w max = 0,5. На рисунке 3а представлена ЛАХ каскада из девяти трёхточечных ЦФ, нули которой определены с помощью последовательного суммированияшагов по приведённой выше формуле: w i = = w min + dw Из рисунка видно, что греб- ниЛАХрасположенынаклонно (отрица- тельный наклон). Этот «дефект» можно исправить, если воспользоваться следу- ющейформулой разбиения оси относи- тельных частот в полосе подавления: , (11) где n – порядковый номер трёхточеч- ных ЦФ, а k – коэффициент, который вычисляется по формуле: . ЛАХ, представленная на рисунке 3б, рассчитана тоже для девяти коэффи- циентов a 2 , но они получены с исполь- зованием формулы (11) при m = 1,4 ( w min = 0,25). С помощью небольшого изменения значения m можно полу- чить ещё более точную горизонталь- ность расположения гребней ЛАХ. В общем случае при проектировании ЦФ значение этого коэффициента выбирается в зависимости от шири- ны полосы заграждения и количества каскадов. Рис. 2. Частотные характеристики симметричных трёхточечных цифровых фильтров при разных значениях среднего коэффициента а 2