СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА №1/2015

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 63 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 1 2015 Если к суммируемымфункциям урав- нения (2) применить интегральное пре- образование Фурье или Лапласа [4], то вместо формальных операторов p в уравнении (3), указывающих на поря- док производных, появятся множите- ли в виде степенных функций от мни- мого ( j ω ) или комплексного ( s = c + j ω ) аргумента. С помощью этих функций легко получить два многочлена, име- ющих степени N и M ( N > M ), которые относятся, соответственно, к левой и правой частям уравнения (2). При делении многочленов – левого на пра- вый – получаем дробно-рациональную функцию, которую в случае преобразо- вания Фурье принято называть частот- ной функцией F ( j ω ), а в случае преоб- разования Лапласа – передаточной функцией W ( s ). Заметим, что преоб- разование Лапласа позволяет расши- рить класс функций, к которым может быть применено интегральное преоб- разование. Функции этого расширен- ного класса принято называть ориги- налами по причине того, что на них накладывается математическое огра- ничение: они должны быть равны нулю при отрицательных значениях своих аргументов. Причину этого легко уяс- нить, обратив внимание на неограни- ченный рост экспоненты с действи- тельным положительным показате- лем степени. Поэтому преобразование Лапласа в большей степени представ- ляет интерес для изучения переходных процессов, имеющих нулевое значе- ние до появления возмущения. Заме- тим, что математический смысл инте- гральных преобразований можно уяс- нить путём сопоставления их с методом замены переменной интегрирования некоторой функцией другого аргу- мента, который применяется в инте- гральном исчислении. При интеграль- ном преобразовании осуществляется переход от исходной функции к неко- торой другой (желательно более про- стой) с помощью подходящей допол- нительной функции с двумя аргумента- ми, вводимой под знак интеграла. При этом важно, чтобы существовало обрат- ное преобразование. Интеграл Лапла- са имеет следующий вид: . Следует заметить, что необходи- мо различать спектры относитель- ных амплитуд гармоник в частотных и передаточных функциях и абсолют- ных величин амплитуд спектров в пре- образованиях Фурье и Лапласа. Функ- ции интегральных преобразований характеризуют спектральные плотно- сти амплитуд гармонических составля- ющих воздействий на входе и соответ- ствующих реакций на выходе систем, которые не являются реально суще- ствующими гармониками в преобра- зуемых функциях. Это чисто математи- ческие сущности, подобные, например, степенным или тригонометрическим функциям в соответствующих рядах. Физическая сущность возникает тогда, когда рассматриваются частотные или передаточные функции, характеризу- ющие свойства систем. Заметим так- же, что решение интеграла Лапласа не представляет, говоря в общем, каких- либо существенных трудностей. Для дальнейшего изложения потребуются формулы преобразования Лапласа еди- ничной ступенчатой функции с обыч- ным и запаздывающим аргументами, которые имеют следующий вид: (4) Из приведённых формул видно, что запаздываниюфункции во временно ′ й области соответствует умножение её изображения в частотной области на экспоненту e –s τ . Отметим ещё одно свой- ство преобразования Лапласа. Упомя- нутая выше дробно-рациональная функция, получившая название переда- точной функции, позволяет по извест- ному изображению входной функции системы получить изображение выход- ной функции согласно выражению: Y(s) = W(s)X(s) . (5) Применив в формуле (5) обратное преобразование Лапласа для функ- ции Y ( s ), получим временну ′ ю функ- цию (реакцию) на выходе системы. Рассмотрим теперь другой способ решения уравнений, используемых для описания систем, который позво- ляет с помощью формулы интеграла свёртки получать интегральную зави- симость выходной функции системы от входной функции во временно ′ й области. Для уяснения понятия инте- грала свёртки полезно ввести в рассмо- трение интегральное уравнение Воль- терры первого рода, которое имеет сле- дующий вид: (6) В этом уравнении искомой функ- цией является x ( τ ). Вторая функция – ядро k ( t, τ ), стоящая под знаком инте- грала, полагается известной. Она характеризует свойства системы. Кро- ме того, функция в левой части равен- ства (6) также полагается известной. В работе Вольтерры [2] имеется заме- чание о том, что интегральные уравне- ния можно рассматривать в качестве предельного случая систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятно, что система таких уравнений может быть сведена к одному уравнению типа (2). В том случае, когда ядро является известной функцией запаздывающего аргумента и, кроме того, известна входная функ- ция x ( τ ), то из уравнения (6) выводим формулу, получившую название инте- грала свёртки: Отметим, что разностный (запазды- вающий) аргумент для ядер интеграль- ных уравнений первым ввёл в рассмот- рение, согласно работам Вольтерры [2], Н.Я. Сонин в 1880 году. Было показано, что если аргументом ядра интеграль- ного уравнения (6) является разность ( t – τ ), то его решение можно получить с помощью интегрального преобра- зования Лапласа. В преобразованном виде решение это принимает следую- щий вид: . (7) Из сопоставления формул (5) и (7) видно, что решения уравнений (2) и (6) идентичны. В дальнейшем, при детальном изучении формулы свёрт- ки, было доказано (теорема Бореля), что преобразование Лапласа от свёрт- ки равно произведению изображе- ний от подынтегральных функций x ( t ) и k ( t ) при условии, что они – ори- гиналы. Кроме того, с помощью пре- образования Лапласа были получены и другие важные результаты для теории систем типа вход–выход. Если в каче- стве ядра свёртки использовать пере- ходные функции или их производные (импульсные переходные функции), то имеют место равенства, получившие название интегралов Дюамеля. При- ведём одно из этих равенств, необхо- димое в данном случае: Если учесть, что h (0) = 0 и сделать подстановку , то форму-