СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА №1/2015

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 62 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 1 2015 Новый метод расчёта параметров цифровых фильтров нижних частот Цифровые фильтры обрабатывают цифровые сигналы с целью выделения, подавления или коррекции определённых частот. Цифровые фильтры отличает высокая точность и стабильность параметров, но полоса частот ограничена частотой дискретизации сигнала (трудно работать в режиме on-line с ВЧ-сигналами, так как вычисления должны быть завершены в течение периода дискретизации). Поиск путей совершенствования методов расчёта, проектирования и применения цифровых фильтров продолжается и сегодня. Автор знакомит читателей с новым методом расчёта параметров цифровых фильтров нижних частот и некоторой особенностью их использования. Николай Захаров (г. Лыткарино, Московская обл.) В ВЕДЕНИЕ Теория цифровой обработки сигна- лов и, в частности, цифровых фильт- ров (ЦФ), основанная на базе со- временной вычислительной техни- ки и достижений классической мате- матики, содержит обширный список литературы. Однако, несмотря на полу- ченные впечатляющие результаты, нельзя сказать, что развитие этой тео- рии завершено. Свидетельством это- го является существование большого количества методов анализа и синте- за ЦФ [1–3]. Поэтому задача создания более простых методов при проектиро- вании и эффективных при использова- нии ЦФ остаётся актуальной и в насто- ящее время. Цифровые фильтры могут быть отнесены, говоря в общем, к катего- рии чисто математических систем. Поэтому одни ЦФ имеют в каче- стве прототипов аналоговые филь- тры, другие – не имеют. В общей тео- рии систем для описания физиче- ских (и математических) процессов используются различные виды урав- нений: интегро-дифференциальные, интегральные, дифференциальные – в обыкновенных и частных произво- дных и алгебраические. В некоторых случаях существует непосредственная взаимосвязь между решениями, полу- чаемыми из разных видов этих урав- нений. Например, в публикации Воль- терра [2] имеется замечание о том, что решения интегро-дифференциаль- ных уравнений могут быть получены из фундаментальных решений неко- торых связанных с ними обыкновен- ных дифференциальных уравнений. Однако при анализе и синтезе систем управления и их звеньев, а также циф- ровых и аналоговых фильтров, оказа- лось, что использование явных реше- ний указанных выше уравнений, как нелинейных, так и линейных, явля- ется непродуктивным из-за трудно- сти получения с помощью этих реше- ний зависимостей, непосредствен- но связывающих процессы на входе и выходе систем. По этой причине для линейных уравнений были разрабо- таны методы получения аналитиче- ских решений в виде операторной связи непосредственно между функ- циями, определяющими процессы на входе и выходе систем. Для этой цели были введены следующие поня- тия: передаточная функция, переход- ная и импульсная переходная функ- ция, интеграл свёртки. Рассмотрим наиболее простой опера- тор, представляющий собой математи- ческое звено, описываемое линейным алгебраическим равенством: (1) где х ( t ) и y ( t ) – функции времени, характеризующие процессы соответ- ственно на входе и выходе звена. Сами эти функции не обязательно должны быть линейными, но опреде- лённые ограничения, связанные с их физической реализацией и требова- ниями, исходящими из математиче- ских методов преобразований, име- ют место. Оператор в равенстве (1) является в данном случае просто чис- ленным коэффициентом, определяю- щим амплитудный характер искаже- ния входной функции, проходящей в виде сигнала через рассматривае- мое звено. Другими примерами опе- раторов могут служить операторы дифференцирования и инте- грирования . Совместно с алге- браическим оператором они обра- зуют дифференциальный оператор, который, воздействуя на гармониче- ский сигнал на входе звена, вызыва- ет амплитудные и фазовые искажения. При этом интенсивность искажения амплитуд и фаз гармоник функцио- нально зависит от частоты. Следует иметь в виду, что в одних случаях воз- действие дифференциального опера- тора рассматривается как искажение сигнала, а в других – как положитель- ное явление, позволяющее проводить необходимые преобразования сиг- налов. Следует также указать на осо- бо важную роль, которую играют при анализе и синтезе систем гармониче- ские сигналы, построенные на базе особого класса периодических три- гонометрических функций – синуса и косинуса. При прохождении через линейные системы они не изменяют своей формы и обладают рядом уни- кальных свойств (гладкость, опреде- ляемая бесконечной дифференциру- емостью, инвариантность при сдвиге, ограниченность диапазона значе- ний, совместное представление обо- их в единой комплексной экспоненте), которые позволяют им служить в каче- стве базовых элементов в структуре разложения периодических и непе- риодических функций. Эти тригоно- метрические функции, естественным периодом которых является полный угол (2 π ), могут быть периодически представлены и при любых других единицах измерения аргумента, если соблюдать кратность естественного периода и какого-либо иного, харак- теризуемого некоторым числом T . Таким образом, обыкновенное диф- ференциальное уравнение вида (2) может быть представлено в следующей операторной форме: . (3)