Современная электроника №4/2020

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 46 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 4 2020 нения условия γ ≥ 1можноиспользовать сопоставление функций (см. формулу 13), где A ( i , m , δ ) –коэффициентыразло- жения функции (12) в ряд Фурье, полу- ченные при f 0 = 0, что соответствует сме- щению первой гармоники на нулевую частоту и упрощает проведение вычис- лений, не влияяна амплитуду спектраль- ных составляющих. Выражения (13) учитывают, что A ( i , m , δ ) = A (– i , m , δ ). Их графики, а также функции отклонения Δ ( m ) = (( W 2 ( m ) – W 1 ( m ))/ W 1 ( m )) × 100% представленынарисунке 4. Вычисление зависимостей W 1 ( m )и W 2 ( m )выполнялось методом перебора значений амплитуд гармоник в указанном интервале номе- ров, для расчёта функции W 2 ( m ) значе- нияпараметра δ изменялись сшагом0,01. Графикифункций W 1 ( m ) и W 2 ( m ) норми- рованыотносительно значения a n . Как видим, введение второй гар- моники в функцию управления при- водит к увеличению максимального уровня спектральных составляющих на 30…60% в диапазоне значений m от 20 до 100. Это следует и из теории [4], согласно которой уменьшение индек- са модуляции всегда приводит к повы- шению уровня спектральных составля- ющих за счёт распределения энергии несущей в более узкой полосе частот. Отсюда следует вывод о том, что использование функции G ( t ) в фор- мах, отличных от моногармониче- ской, будет всегда приводить к сни- жению эффекта от использования УД. В пользу использования такой функции управления говорит и сравнительная простота технической реализации. Управляемый и неуправляемый джиттер в цифровой системе В цифровых системах джиттерможет иметь различную природу, в т.ч. зави- сеть от последовательности бит в пере- даваемоминформационномпотоке [3]. Все приведённые выше формулы были получены в предположении отсутствия в цифровых устройствах джиттера любой иной природы. Однако в реальных системах джиттер всегда присутствует, и потому его влияние на расщепление спектра из-за УД необходимо оценить. Классический джиттер обусловлен преимущественно случайными про- цессами. Если не учитывать датазави- симый джиттер, то частота произволь- ной гармоники при использовании УД будет описываться уравнением ω (t) = =2 π× n ( f 0 + k × f 0 × cos(2 π×Ω× t ) + s ( t )), где s ( t ) – случайный сдвиг по частоте, кото- рый имеет нормальное распределение, в результате гармоника с номером n приобретает случайный сдвиг по фазе Ф(t) (см. формулу 14). Случайная функция Ф( t ) также имеет нормальное распределение, что следу- ет из правил суммирования погрешно- стей. Это распределение имеет нулевое математическое ожидание и диспер- сию σ , которая определяет случай- ную составляющую фазу. Слагаемое m × sin(2 π×Ω× t ) можно рассматривать как дающее случайный сдвиг по часто- те f s с интервалом возможных значений – m … m , характеризующийся арксинусо- идальным распределением [11], плот- ность вероятности которого опреде- ляется выражением (см. формулу 15). Слагаемое 2 π× n × Ф( t ) в уравнении (14) может рассматриваться как слу- чайный сдвиг по времени для каждо- го периода исходного сигнала, и поэто- му он будет переходить в состав каждой из спектральных составляющих в каче- стве паразитной фазовой модуляции. Результатом этого будет уменьшение амплитуды, которое будет зависеть от значения σ . Для оценки влияния слу- чайного джиттера целесообразно рас- смотреть вызванное им усреднённое изменение амплитуд гармоник S ( σ ) и в качестве показателя такого измене- ния ввести функцию (см. формулу 16). Для выполнения оценочных расчё- тов необходимо определить макси- мальное значение σ , например на основе данных спецификации распространён- ных цифровых интерфейсов. Согласно спецификациишиныUSB 3.1 gen 1 [12], на случайный джиттер отводится не более 20,5%битового интервала для сиг- нала на входе приёмника или 41%пери- ода рассматриваемого сигнала, чтомож- но принять соответствующиминтервалу в 6 σ с вероятностью 99,7% [13]. Отсюда значение σ составляет около 7% в долях периода следования прямоугольных импульсов. Примем максимальное зна- чение σ равным 0,1. При выполнении расчётов, значе- ния функций S( σ ) определялись с учё- том требований по статистической повторяемости на основе многократ- ного разложения в ряд Фурье функции u g ( t ) = cos(2 π × F × t + 2 π × A k ), где A k – случайная величина, постоянная для периода k функции cos(2 π × F × t ) при отсчёте значений t от начальной вре- менной точки –0,5 N / F , причём N >> 1. Значения A k определялись розыгрышем нормально распределённой случайной величины с дисперсией σ . Функции S ( σ ) присваивалось усреднённое значение гармоники N такого разложения, полу- ченное для пятидесятикратной реали- зации изложенного алгоритма. Результаты расчёта функции W d ( σ ), полученные при N = 100, представлены на рисунке 5. Выбранные параметры расчёта обеспечили статистическую сходимость не хуже 1%. Как следует из 20 2 1 0 1,5 0,5 40 60 80 100 160 140 120 100 80 60 40 20 0 m Δ (m) W1 (m) W2 (m) Рис. 4. Графики функций W1(m), W2(m), Δ (m) Рис. 5. График зависимости Wd( σ ) 0,02 1,05 Wd( σ ) σ 1 0,95 0,85 0,8 0,9 0,04 0,06 0,08 0,1