СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА №4/2016

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 79 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 4 2016 Якобиан V h(k) Прогнозируемая оценка Прогнозируемое состояние Измерения Матричный процессор Оценки Якобиан A Якобиан H Якобиан W f(k) Рис. 3. Исследования АФ LMS, RLS, Калмана из набора DSP Blockset Рис. 4. Архитектура РФК Наблюдаемому линейно преобразо- ванному процессу соответствует урав- нение: y k = H k x k + w k , где H k – матрица наблюдений, w k – шум наблюдения, представляющий собой случайный вектор, имеющий нормаль- ное распределение с корреляционной матрицей. Использование АФК для линейной фильтрации ориентировано на при- менение линеаризованной упрощён- ной математической модели дина- мической системы. Такой фильтр обладает наименьшей среднеквадра- тической ошибкой. Однако должны выполняться следующие условия: шум является «белым» и распределяется по нормальному закону, математическое ожидание шумов равно нулю, отсут- ствуют корреляции между шумами и перекрёстные связи между фазо- выми координатами. Перечислен- ные ограничения на практике часто нарушаются. Если шумы «цветные», то необходимо синтезировать цифровой формирующий фильтр. «Белый» шум при пропускании через него будет обладать спектральной характери- стикой, эквивалентной или близкой к исходной. Для систем цифровой обработки сиг- налов, уравнения динамики и наблю- дений которых содержат нелинейные функции от фазовых координат, а так- же при наличии перекрёстных связей между фазовыми координатами, реко- мендуется использовать адаптивный нелинейный (расширенный) фильтр Калмана – РФК (Extended Kalman Filter, EKF). При использовании РФК процесс фильтрации описывается нелиней- ными стохастическими разностны- ми уравнениями с необходимостью на каждом шаге итераций вычислять Якобиан – матрицу частных произво- дных от фазовых координат. То есть, в РФК линеаризация производится путём вычисления Якобиана: x k = Ax k–1 + Bu k–1 + v k–1 , z k = Hx k + w k , где u k-1 – вектор управляющих воздей- ствий, z k – выходной вектор, A – матри- ца эволюции процесса/системы, воз- действующая на вектор состояния x k–1 в момент k–1, B – матрица управления, прикладываемая к вектору управляю- щих воздействий u k-1 , v k-1 – случайный вектор (шум процесса) в момент k–1, имеющий нормальное распределе- ние с корреляционной матрицей, H – матрица наблюдений, связывающая истинный вектор состояния и вектор произведённых наблюдений, w k – шум наблюдения, представляющий собой случайный вектор, имеющий нормаль- ное распределение с корреляционной матрицей. Приближенное к линейному состо- яние векторов x k и z k можно записать в виде: , . Тогда оценки процесса с нелиней- ной разностью измерений и отноше- ний с линеаризуемой оценкой будут иметь вид: , , где и Z k – приблизительные состоя- ние и измерение векторов х к и z к , – апостериорная оценка состояния про- цесса на этапе k, – апостериорная оценка состояния процесса на этапе k–1, А – матрица Якоби частных произ- водных f по х, v k-1 – случайный вектор (шум процесса) в момент k–1, имею- щий нормальное распределение с кор- реляционной матрицей, V – матрица Якоби частных производных f по v, Н – матрица Якоби частных произ- водных h по х, w k – шум наблюдения, представляющий собой случайный вектор, имеющий нормальное распре- деление с корреляционной матрицей, W – матрица Якоби частных производ- ных h по w.