Современная электроника №8/2021

ИНСТРУМЕНТЫ И ОБОРУДОВАНИЕ 15 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 8 2021 Рис. 2. Определение запаса по фазе и по усилению для систем автоматического управления с обратной связью вано в осциллографах серии RTM ком- пании Rohde&Schwarz в форме опции R&S RTM-K36, которая предназначена для автоматизированного построения диаграмм Боде в частотном диапазоне от 10 Гц до 25 МГц и соответствующим образом управляет встроенным генера- тором R&S RTM-B6. Представление о диаграммах Боде и области их применения Как отмечалось выше, при построе- нии диаграмм Боде используется лога- рифмический масштаб по частоте и амплитуде, поэтому второе их назва- ние – логарифмические амплитуд- но-фазовые частотные характеристи- ки (ЛАФЧХ). Для оси частот обычно используют декадный масштаб, октав- ные единицы применяют только для акустических приложений, например, когда измерения проводятся для филь- тров, предназначенных для псофоме- трических измерений [6]. При постро- ении АЧХ по оси ординат используют шкалу в децибелах, а для ФЧХ при- меняют линейные единицы – граду- сы (–180…180°) либо радианы (– π … π ). На рис. 1 представлен пример ЛАФЧХ для фильтра нижних частот первого порядка в виде RC-цепи, передаточная функция которого описывается урав- нением , где ω = 2 ϖ f – циклическая частота, рад/с, f – частота, Гц, причём f 0 = 1/(2 ϖ RC ) – частота сре- за (см. рис. 1). Для практических целей, таких как синтез электрических цепей и схем автоматического управления [7], кри- вые ЛАФЧХ аппроксимируют прямы- ми линиями. Далее требуемые для ряда частот значения амплитуд и фаз рас- пределяют между узлами схемы таким образом, чтобы они в совокупности давали наиболее близкое к заданному изменение амплитуд и фаз. Действи- тельно, если для частот f k в количестве M требуется получить некоторые зна- чения АЧХ A k и ФЧХ ϕ k , то при деком- позиции, реализующей такое преобра- зование схемы на M последовательно соединённых узлов, необходимо потре- бовать для каждой частоты весьма точ- ного выполнения условий , где A k,m и ϕ k,m – коэффициент передачи по амплитуде и фазовый сдвиг узла m на частоте k . Переход к логарифмиче- скому масштабу позволяет перейти от умножения к сложению амплитудных характеристик в децибелах, что значи- тельно упрощает расчёты. Для опти- мизации приближения АЧХ и ФЧХ к требуемымформам могут быть исполь- зованы регрессионные методы [8]. Аналогичный подход может быть реализован, если передаточная функ- ция H(s) некоторой цепи представлена в операторной области в виде дробно- рациональной функции вида , где А , x i , y j , a i , b j – постоянные коэф- фициенты. Существуют специальные правила [7], которые позволяют строить аппроксимированные прямыми лини- ями ЛАФЧХ по расположению нулей и полюсов передаточной функции. Область применения диаграмм Боде охватывает: ● анализ и синтез схем усилителей, фильтров и других линейных стаци- онарных систем, в том числе с приме- нением средств автоматизации про- ектирования; ● анализ устойчивости систем с обрат- ной связью, включая схемы автома- тического управления; ● определение типов элементарных пе- редаточных звеньев по форме ЛАФЧХ при анализе систем типа «чёрный ящик». При использовании диаграмм Боде для анализа устойчивости систем с обратной связью по ним определяется запас по фазе и по усилению. По сути, почти все частотные критерии устой- чивости, выработанные в теории авто- матического управления, основаны на недопущении превращения имею- щейся отрицательной обратной связи в положительную с усилением. Иначе в системе возникнет возбуждение, и она перестанет правильно выполнять свои функции. Это относится как к механи- ческим, так и к электрическим систе- мам. Для определения запасов по фазе и усилению для разомкнутой системы автоматического управления строят диаграмму Боде и далее определяют названные характеристики так, как показано на рис. 2. При этом исходят из аксиомы о том, что система теряет устойчивость тогда, когда усиление в цепи обратной связи выше 0 дБ и одно- временно значение фазового сдвига по модулю превышает 180°. Для определения типов элемен- тарных звеньев, например, системы автоматического управления, экспе- риментально построенные ЛАФЧХ соотносят с идеальными [2]. Так, например, пропорциональное зве- но имеет нулевой фазовый сдвиг в заданной полосе частот, в то время как для идеального интегрирующего звена он равен –90° при наклоне АЧХ –20 дБ/дек. АЧХ колебательного зве- на имеет характерный резонансный максимум, а значение фазового сдви- га может составлять 0° или 90° в зави- симости от точек подключения нагруз- ки. ЛАЧХ звена чистого запаздывания, как и любой замедляющей системы без потерь [9], характеризуется нарас- танием фазы по степенному закону, в то время как при линейном масштабе по частоте он меняется строго линей- но. Если такой анализ даёт противо- речивые результаты, то звено следует считать состоящим из двух и более эле- ментарных звеньев, пытаясь разделить изменение АЧХ и ФЧХ между ними с изменением частоты так, как это было описано выше.