Современная электроника №9/2019

СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 21 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 9 2019 му управления намеренно «загрубля- ют» по точности, поэтому все рабо- тающие и разрабатываемые системы управления называют «робастны- ми», т. е. намеренно загрубленными. Выход из положения – управлять объектом не в его настоящем, а в его будущем положении, т.е. экстрапо- лировать его положение в будущее. Системы управления с экстраполя- цией устойчивы при любой точности управления. На этом принципе управ- ления (по опережающему состоянию объекта) в России впервые создана «антиробастная» система управления XXI века, которая применима во всех сферах деятельности человека и осо- бенно актуальна в системах и изде- лиях ВПК. Актуальность сверхточ- ной системы управления очевидна, т.к. никому не нужен плохо управля- емый снаряд, летящий в цель со ско- ростью в десятки Махов. Бесспорен принцип: «Не умеешь предсказывать – не умеешь управ- лять!». Именно поэтому предлагаемая сверхточная система управления свя- зана с «научным предвидением» или, иными словами, с математической технологией численной экстраполя- ции процесса по данным наблюдений. Принципы построения сверхточной системы управления отражены в исто- рии построения фундаментальных математических и физических прин- ципов обработки наблюдений (сигна- лов), о которых стоит упомянуть, что- бы представить сложность проблемы. У ПРАВЛЕНИЕ С ОПЕРЕЖЕНИЕМ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ , ФИЗИКИ , ФИЛОСОФИИ В 1807 году на заседании Француз- ской академии наук в Париже матема- тик Жан-Батист Фурье сделал доклад о том, что любую функцию можно представить (аппроксимировать – заменить) рядом тригонометриче- ских функций из синусов и косинусов. Председатель собрания – знаменитый Жан Лагранж – от возмущения чуть «не упал со стула». Если ряд наблюдений, как любую функцию, можно заменить рядом известных функций, то тогда можно продлить ряд наблюдений за пределы наблюдения и узнать буду- щее. Как бы не так! Через 61 год, в 1868 году математик Питер Густав Лежён Дирихле дока- зал условия разложения функции в ряд Фурье. Наблюдения, записанные в виде ряда чисел, представляются функцией, разрывной в каждой точке. Для обработки таких функций и воз- можности их экстраполяции гениаль- ный Карл Вейерштрасс ввёл так назы- ваемую разрывную функцию Вейерш- трасса (работа 1896 года), но не довёл работу до конца, умер. Через год, в 1897 году американ- ский физик и инженер Гиббс пока- зал, что разложение в ряд Фурье функ- ции, отвечающей условиям Дирихле и заданной на ограниченном отрезке (а все наблюдения конечны и имеют свой ограниченный временно ′ й отре- зок), вблизи концов отрезка невозмож- но, т.к. здесь ряды Фурье «расходятся». Этот эффект назван эффектом Гиббса. Также к эффектам Гиббса относятся эффекты мимикрии частот (aliasing) при обработке функций наблюде- ний, заданных дискретными точка- ми. Таким образом, эффекты Гиб- бса принципиально запрещают точ- ный прогноз. Послевоенное развитие математики в области экстраполяции шло под влиянием методов математи- ческой статистики. На этом направ- лении научное предвидение невоз- можно, так как здесь принципиально используются приближённые оценки. В философском и богословском понимании Творец не дал человеку возможности видеть будущее. Фун- даментальным запретом в этих дей- ствиях выступают эффекты Гиббса: точная экстраполяция рядов наблю- дений невозможна. И, как следствие, отсутствуют научные подходы к про- блеме экстраполяции, поэтому этой тематикой фундаментальная наука с середины XX века не занималась. С точки зрения фундаментальной науки, проблема смотрится следую- щим образом. В математике создан огромный аналитический аппарат для исследования поведения функ- ций (процессов), которые описыва- ются аналитическими функциями – непрерывными, без разрывов в про- изводных. Этот могучий аппарат в деталях и крупных блоках создавал- ся более 300 лет, начиная с Ньютона, Лейбница, Эйлера, Гаусса и кончая Вейерштрассом, Пуанкаре, Ляпуно- вым, Понтрягиным, Виноградовым. С помощью этого аппарата можно узнать «будущее» любой аналитиче- ской функции, т.е. фундаментальной проблемы экстраполяции для анали- тических функций нет. В реальной жизни человек не имеет дело с ана- литическими функциями. Он имеет дело с конкретным конечным рядом чисел (конечным рядом наблюдений за процессом), т.е. измеряемый про- цесс описывается финитной функ- цией, которая не является аналити- ческой. Эту ситуацию можно пред- ставить, как если бы у аналитической функции вырезали бесконечное чис- ло значений, оставив значения, полу- ченные только в момент наблюдения, т.е. в определённых эквидистантных (равноотстоящих) точках. С таки- ми функциями имеет дело вычисли- тельная математика. Аналитический аппарат вычислительной математи- ки (практической математики) до настоящего времени не разработан. Он состоит на сегодняшний день из дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и теоремы Котельникова (на западе называемой теоремой Уиттеке- ра (1914), Котельникова (1933), Шен- нона (1948)). Владимир Котельников в 1933 году для нужд передачи сиг- налов сформулировал шесть условий (теорем), два из которых затем стали интерпретировать для нужд интерпо- ляции и экстраполяции сигналов под названием «Теорема отсчётов». Неко- торые идеи этого метода предвосхи- тил математик Уиттекер в 1914 году. В 1948 году Шеннон повторил эти результаты для трансформации сиг- налов и передачи информации. Эти- ми инструментами до настоящего времени ограничивается аппарат вычислительной математики. Данная пропасть между мощностью аппара- тов в математике и вычислительной математике проявляется на практике. Например, ни один инженер-практик или математик-вычислитель не смеет утверждать, что он может правильно вычислять третью и высшие произво- дные функции, заданной численно на отрезке конечным рядом чисел. Поэ- тому проблема экстраполяции про- цессов, заданных конечным рядом чисел, далека от разрешения. Решение этой проблемы предложе- но использованием метода экстрапо- ляции. Если коротко, то впервые соз- дан «мост» между аналитическим аппаратом классической и вычис- лительной математики. Этот «мост» имеет вид фундаментальной теоремы отсчётов Рождественского [2, 3]. Благо- даря этому «мосту» стало возможным использовать огромный аппарат ана- литической математики для практи- ческих целей вычислительной мате- матики, включая экстраполяцию. Эта