СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА №1/2015

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 68 WWW.SOEL.RU СОВРЕМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА ◆ № 1 2015 4 3 2 1 5 –10 –5 –15 –20 –25 –30 –35 –40 –45 –50 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 f– 0 дБ а 1 2 –10 –20 –30 –40 –50 –60 –70 –80 –90 –100 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 f– 0 10 дБ б 1 2 –20 –40 –60 –80 –180 –100 –120 –140 –160 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 f– 0 20 дБ му нерекурсивному ЦФ, можно полу- чить в результате ЦФ, в котором отсут- ствует в некотором диапазоне частот сдвиг фаз гармоник. На рисунке 5 вид- но, что дальнейшее расширение диа- пазона частот, в котором отсутствует сдвиг фаз, связано с допустимостью некоторого усиления частот в полосе пропускания. П РИМЕНЕНИЕ ЦФ ДЛЯ АНАЛИЗА И КОРРЕКЦИИ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ Интересно рассмотреть ещё одну сферу применения ЦФ, связанную с анализом и коррекцией методов численного интегрирования различ- ных (в том числе табличных) функ- ций. Формулы четырёх методов чис- ленного интегрирования функций – трапеций, Симпсона, Ньютона-Котеса, Уэддля и метод, обеспечивающий рав- номерность подавления частот в поло- се заграждения (см. рис. 6, кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответственно), преобразован- ные к виду ЦФ, выглядят так: 1. 2. 3. 4. 5. Построение методов численного интегрирования основано на аппрок- симации подынтегральной функции полиномом некоторой степени, кото- рая соответствует процессу сглажива- ния этой функции. ЦФ нижних частот тоже решает задачу сглаживания. Если произвести деление каждого из коэф- фициентов слагаемых правой части формул интегрирования на множи- тели, стоящие перед скобками, и на сумму этих коэффициентов, то для каждого из методов получим новые коэффициенты, определяющие сим- метричные ЦФ. На рисунке 6 представлены ЛАХ этих ЦФ. Видно, что только кривая 5 име- ет три нуля АФХ в полосе заграждения частот. Третий ноль АФХ метода тра- пеций расположен на границе нало- жения частот. АФХ всех остальных методов вместо третьего нуля имеют минимумы, которые расположены на этой же границе ( a 2 этих трёхточеч- ных ЦФ больше 0,5). Первые нули всех АФХ – ближайшие к полосе пропуска- ния частот – расположены на одной и той же частоте. Вторые нули АФХ оказались разделёнными на три груп- пы. Наименьшую частоту второго нуля имеет ЦФ с равномерным подавлени- ем частот. Рядом (правее) расположе- ны нули АФХ методов Ньютона-Котеса и Уэддля, а ещё правее – методов Симп- сона и трапеций. В ЫВОД Сравнивая ЛАХ метода трапеций и метода, определяемого кривой 5, имеющих наибольшую степень пода- вления частот, с ЛАХ остальных мето- дов, и используя соответствующую оценку точности в книге [4], можно прийти к выводу, что точность метода численного интегрирования опреде- ляется не степенью подавления частот. Однако оценки в источнике [4] сде- ланы с использованием весьма глад- кой функции. Поэтому можно пред- положить, что при численном инте- грировании быстро отклоняющихся аналитических или зашумлённых табличных функций более предпо- чтительными могут оказаться мето- ды, имеющие большую степень пода- вления частот. Кроме того, естественно предпо- ложить, что для подынтегральных функций, в спектре которых высокие частоты имеют существенное значе- ние, большая точность будет получе- на при применении методов, имею- щих более короткие интервалы инте- грирования. Трансформация методов с целью перехода к коротким интерва- лам интегрирования наиболее легко осуществляется в методах Симпсона и трапеций, а также в методе с равно- мерным подавлением частот. Отметим также, что метод с равномерным пода- влением частот может быть использо- ван в роли ЦФ с узкой полосой и высо- кой степенью подавления частот для предварительного сглаживания инте- грируемой функции, а для последую- щего численного интегрирования предпочтение можно отдать методу Симпсона. Л ИТЕРАТУРА 1. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. М. Связь. 1979. 2. Вольтерра В. Теория функционалов, инте- гральных и интегро-дифференциальных уравнений. М. Наука. 1982. 3. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., По- ляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. Справочник. М. Радио и связь. 1985. 4. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. М. Наука. 1967. Рис. 6. ЛАХ ЦФ, полученных разными методами численного интегрирования функций: 1 – метод трапеций; 2 – метод Симпсона; 3 – метод Ньютона-Котеса; 4 – метод Уэддля; 5 – метод, обеспечивающий равномерность подавления частот в полосе заграждения Рис. 5. Логарифмические амплитудно- частотная (а) и фазочастотная (б) характеристики ЦФ без коррекции (1) и с коррекцией (2) фазового сдвига